Ádám, az első zenei zsenitől a mai temperált hangrendszerig VII.
A pithagoraszi hangrendszer II.
Skálaalkotás a pithagoraszi hangrendszer alapján
(tizedes törtekkel)
Hangrendszerek közötti összehasonlító táblázat
A Hangrendszer fogalma című fejezet részletesen kifejtette, hogy mi is a hangrendszer fogalma. Emeljük ki még egyszer a fejezet legfontosabb gondolatait!
A hangrendszer az az alap, amelyre a későbbiekben magát a zenét építhetjük és (zeneelméletileg) nincs hang a hangrendszeren kívül.
A hangrendszert nyugodtan hasonlíthatjuk egy tágas szoba beton alapjához. Ennek az alapnak (mint minden épületalapnak) egyetlen rendeltetése van: minél masszívabb és laposabb sík felületet nyújtani, másként egyszerűen nem funkcionálna. Az említett fejezetből, illetve a későbbiek során ki fog derülni, hogy minden zenei helyzetre megfelelő, azaz tökéletes zenei alap (hangrendszer) sajnos nem létezik, mindegyiknek megvan a maga (hangolási) göcsörtje, anomáliája, amelyet legjobb elkerülni, másként hamis skálákba-harmóniákba csúszhatunk. A különböző hangrendszerek, mint alapok tehát garantáltan itt-ott kisebb gödrökkel tarkítottak.
Használhatók ilyen módon a különböző hangrendszerek?
Természetesen igen, aminthogy az egyenetlen teremalap is használható, egyetlen, már említett feltétellel: ismernünk kell a gödrök helyeit, hogy azokat biztonságban kikerülhessük.
A pithagoraszi hangrendszer sem mentes az anomáliáktól, ennek ellenére (zeneelméletileg) már belőle is levezethető a jelenlegi temperált hangrendszerünk mind a 12 félhangja.
Mit is kívánunk tenni? Valójában egy számunkra zeneileg minden célból megfelelő frekvenciasorozatot akarunk készíteni a pithagoraszi hangrendszer alapján. Már említett módon ez nem fog tökéletesen megvalósulni, hiszen a ma használatos európai temperált hangrendszer sem az, ezért a kapott értékek közelítettek lesznek. Valójában a közelítés is rossz kifejezés, mert nincs mihez közelíteni, a zenében ugyanis nincs mindent eldöntő referencia (frekvenciasorozat), hacsak a temperált hangrendszer matematikailag kiszámított értékeit önkényesen nem vesszük annak.
Visszatérve a fejezet eredeti témájához: a skálaalkotás rendkívül izgalmas kérdés, hiszen míg a hangrendszer fogalmilag még mindig igen ködös, addig a skála zeneileg és technikailag az első igazán felhasználható objektum. Ezt a zenészek mindig is jobban értékelték, hiszen jóval közelebb állt hangszerükhöz.
A pithagoraszi hangrendszer alapja a kvintekkel való építkezés.
Emlékezzünk vissza arra, hogy ha vesszük a kvint 3:2 frekvenciaarányát (amelynek osztója-szorzója 1,5), akkor ezáltal képesek vagyunk meghatározni 12 különböző zenei hangot. Ezt az említett fejezetben úgy szemléltettük, hogy vettünk egy jelképes 100 Hertz rezgésszámú hangot és a kvint szorzójával (3:2 = 1,5) felszoroztuk egészen 12 kvint hosszúságban:
Ezzel egy rémületesen hosszú kvintlépést modelleztünk le. Nézzük meg ezt egy zongorán is, de előtte tisztáznunk kell valamit.
Mit is akarunk tenni? Régi idők eljárásait modellezni új eszközök segítségével, sőt, sokszor azokból levezetve.
Ez bizony egy kissé félrevezető, mert viszonylag könnyű napjaink ultramodern matematikai és egyéb eszköztárával régi dolgokat lemodellezni, de például az ógörögök nem ismerték a tizedestörteket, ők kizárólag arányokban (például 3/2) gondolkodtak. (Ezt az ősrégi módszert a következő fejezetben vázolom fel, címe: A pithagoraszi hangrendszer III.)
Ráadásul a 12 lépéses kvintterjedelmet egy mai, temperált zongoraklaviatúrán szándékozom megmutatni, amely 2 dolognak zeneelméleti értelemben semmi közük egymáshoz (mert most konkrét, egymástól különböző frekvenciasorozatokat készülök megvizsgálni). De igazából nem tudok mást tenni, mint kiindulási alapként a mai temperált hangrendszert venni. Ezt fogom tenni a későbbiek során.
Tehát nézzük meg a 12 kvintlépést a zongora klaviatúráján jelképes C hangról indulva (a középső, négyszög jelű C hang most nem lényeges):
C - G - D - A - E - H - Fisz - Cisz - Gisz - Disz - Aisz - Eisz - (Hisz)
Még egyszer: itt semmi sem stimmel, csupán az alapelvek!
Láthatjuk, hogy a 12 kvintlépés szinte átéri a zeneileg felhasználható hangtartományt olyannyira, hogy jobb oldalon a felső Hisz hang már le is csúszott a klaviatúráról. De hogyan lesz ebből skála?
Emlékezzünk vissza a skála fogalmára: a skála a hangok valamilyen elv szerinti lépcsőzetes elrendezését jelenti. Trivialitása miatt eddig sehol nem láttam kihangsúlyozni azon tényt, hogy ez a meghatározás csupán 1 oktávnyi hosszra vonatkozik.
(Itt jön be megint egy Pénzes-féle újítás, nevezetesen olyan skálák alkotása és vizsgálata, amelyek belső szerkezetükben hosszabbak 1 oktávnál. Ezt a 2 oktávos skálakatalógus című fejezetcsomagban tettem meg.)
Ebben a pillanatban újfent foglalkoznunk kell a temperált hangrendszer konkrét hangértékeivel, mert a fenti táblázatban ugyan jelképes 100 Hz rezgésszám volt a kiindulási alap, azonban így nem tudunk viszonyításokat tenni a mai temperált hangrendszer felé (mert a rendszeren belül nincs 100 Hz-es hangunk). Én kényelmi szempontból a 440 Hz normál zenei A hangból gyönyörűen levezethető 55 Hz rezgésszámú A hangot választottam kiindulópontnak:
A 12 kvintlépést...
...tehát 1 oktávba kell rendezni olyan módon, hogy 55 Hz legyen a kiindulópont és a 12 hang 55 és 110 Hz közé essen (mert az 55 Hz oktávja ugye 110 Hz rezgésszámú, hiszen az oktáv arányszáma 2:1).
Először le kell gyártanunk a fenti 100 Hz-től induló táblázatot 55 Hz kiindulópontra. A sorozat 1. hangja A hang lesz, így a másik oldalon meg fognak jelenni gusztustalan zeneelméleti -iszisz mekegések (pedagógus volt az, aki kitalálta?):
A - E - H - Fisz - Cisz - Gisz - Disz - Aisz - Eisz - Hisz - Fiszisz - Ciszisz - (Giszisz)
A skála első 2 hangja már megvan: a kezdőhang A (55 Hz) és annak kvintje E (82,5 Hz). Láthatjuk, hogy nagy valószínűséggel jó úton járunk, mert a temperált táblázat...
...temperált E hangnak 82,4 Hz-et adott meg.
Tehát:
-
A - 55 Hz
-
E - 82,5 Hz
A következő H kvint 123,75 Hz és kívül esik az 1 oktávos 110 Hz-es hangtartományon, ezért 1 oktávval le kell transzponálnunk, ami az oktáv 2:1 frekvenciaaránya szerint egyszerű osztást jelent 2-vel; 123,75 / 2 = 61,875 Hz.
A temperált táblázat...
...temperált H hangnak 61,735 Hz-et ad meg, így a helyes út egyre bizonyosabb. Tehát:
-
A - 55 Hz
-
H - 61,875 Hz
-
E - 82,5 Hz
A következő Fisz kvint 185,625 Hz. Ez még benne van az 55 Hz-től számolt 2. oktávban (mert 55 < 110 < 220), ezért elég 1 oktávos aránnyal elosztani (/2); 185,625 / 2 = 92,8125 Hz.
A temperált táblázat...
...temperált Fisz hangnak 92,498 Hz-et ad meg, így a helyes út már egyértelmű. Tehát:
-
A - 55 Hz
-
H - 61,875 Hz
-
E - 82,5 Hz
-
Fisz - 92,8125 Hz
A következő Cisz kvint 278,4375 Hz. Ez a hang zeneelméletileg nézve az A alaphangtól számítva a 3. oktávban helyezkedik el, ezért oktávos osztója most már 4; tehát 278,4375 / 4 = 69,609 Hz, amely érték temperáltan a táblázat szerint...
...69,295 Hz. Tehát:
-
A - 55 Hz
-
H - 61,875 Hz
-
Cisz - 69,609 Hz
-
E - 82,5 Hz
-
Fisz - 92,8125 Hz
Ezzel az 5 hanggal megalkottuk a tiszta dúr-pentatóniát, amelyet most konkrétan A hangról indítottunk!
Persze azért nem vagyunk olyan okosak, hiszen mindezt a kínaiak is észrevették már ezelőtt 5000 évvel...
Belátva, hogy mégsem mi találtuk fel a gravitációt, csak szenvedünk tőle, mint Newton almája, folytassuk tovább a skálaépítkeződést!
A következő Gisz kvint 417,65625 Hz. Ez a hang zeneelméletileg nézve az A alaphangtól számítva a 3. oktávban helyezkedik el, ezért oktávos osztója még mindig 4; tehát 417,65625 / 4 = 104,414 Hz, amely érték temperáltan a táblázat szerint...
...103,826 Hz. Tehát:
-
A - 55 Hz
-
H - 61,875 Hz
-
Cisz - 69,609 Hz
-
E - 82,5 Hz
-
Fisz - 92,8125 Hz
-
Gisz - 104,414 Hz
A következő fontos skála a 7 hangból álló, azaz hétfokú, csinos és lényeglátó idegen nevén a heptaton. A fenti elvvel felépített A-heptaton skála egy mai A-líd skálának felel meg, amely a Pénzes-féle skálaértelmezés szerint része az E-dúr - Cisz-moll skálaegyüttesnek, amint az az egyesített alapskála-táblázatból már évek óta egyértelműen kiderül (4# előjegyzés):
A következő Disz kvint 626,484375 Hz. Ez a hang zeneelméletileg nézve az A alaphangtól számítva a 4. oktávban helyezkedik el, ezért oktávos osztója már 8; tehát 626,484375 / 8 = 78,3105 Hz, amely érték temperáltan a táblázat szerint...
...77,781 Hz. Tehát az A-heptaton skála hangjai:
-
A - 55 Hz
-
H - 61,875 Hz
-
Cisz - 69,609 Hz
-
Disz - 78,3105 Hz
-
E - 82,5 Hz
-
Fisz - 92,8125 Hz
-
Gisz - 104,414 Hz
Az eddigi módszert tovább nem szemléltetem, mert bebizonyosodott a skálaépítés szabályainak helyessége. Nincs más dolgunk hátra, mint legyártani és megmagyarázni az egyesített táblázatot.
Hangrendszerek közötti összehasonlító táblázat
Az összehasonlító táblázatnak természetesen minden eddigi vizsgálódást tartalmaznia kell, kibővítve azt néhány járulékos információval.
A táblázat voltaképpen 2 különálló részből áll, amelyek részben (hangsúlyozom: csak részben!) kapcsolódnak egymáshoz:
-
a baloldali rész hasonlítja össze hertzben a temperált és a pithagoraszi hangértékeket. Függőleges számozása az egymás mellett lévő, azaz félhangos lépésszámokat jelenti. A hangokat meg is nevezi, bár nyilvánvalóan nincs olyan elnevezés, hogy "pithagoraszi név", mert az ógörögök elfelejtettek erről nyilatkozni. Marad tehát a jelenlegi egyetlen zeneelméleti eszköztár, az enharmonikus hangnevek, bár szerintem alapelvüket tekintve ezek sem egészen pontosak. Érdekes oszlop a Különbség. Mindegyik értéke negatív, ami azt sejteti, hogy a temperált hangrendszer majdnem minden hangja kissé "bágyadt", alulszámított a tiszta (itt pithagoraszi) hangzáshoz képest (Kiszámítása: Temperált érték - Pithagoraszi érték.
-
A jobboldali rész számozása a 12 kvintlépést reprezentálja (1-13), a mellette lévő rész pedig szintén hertzben ki is számolja a kvintlépések értékekeit. A Hányadik oktáv? nevű oszlop azt mutatja meg, hogy az adott kvint az alaphangtól számítva hányadik oktávban helyezkedik el, az Osztó oszlop pedig azt, hogy ezáltal mennyi lesz a kvintérték osztója. Mivel a frekvenciaértékek az oktávszámok növekedtével hatványozottan növekednek (például A hangok esetében 55 - 110 - 220 - 440 - 880, stb.), ezért az osztó is ugyanilyen mértékben növekszik. Ezt már régóta sejtettem és most sikerült implementálni is. Érdekes viszontlátni osztók formájában a 2 hatványait: 1 (mert 20 = 1) - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64.
-
A baloldali rész Pithagoraszi értékei a jobboldali részből lettek kiszámolva: Kvintlépés / osztó. A kvintlépés azonban nem volt lineárisan követhető a baloldali részben.
Érdekes észrevenni a 12. kvint Giszisz hangra letranszponált pithagoraszi értékét, ami 111,5008 Hz, holott ennek az értéknek a tiszta oktav frekvenciaarány szerint (2:1) éppen 110 Hz-nek kéne lennie. Ez a 1,5 Hz eltérés talán a pithagoraszi komma? Nem tudom, ehhez ki kéne számítanunk a cent értékeket is.
Én már számoltam eleget, ez maradjon meg a Tisztelt Olvasó házias feladatának...
Pénzes László