HÍREK
LEGUTÓBBI MÓDOSÍTÁSOK TÁMOGASD A SULIT!
KÖSZÖNJÜK! ZENÉS
BEMUTATKOZÁS AJÁNLÓ
OLDALAK OPRE
ÁTTÖRÉS A TECHNIKÁBAN

Ádám, az első zenei zsenitől a mai temperált hangrendszerig XII.

 

A harmonikus felosztás rendszere (Arisztoxénosz és Zarlino)

 

Riemann-Brockhaus lexikon

Tarnóczy Tamás - Zenei akusztika

 

A harmonikus felosztás elve alapjában véve szintén ókori gyökerű, éppúgy, mint a pithagoraszi hangrendszeré. Az alapötlet (állítólag) Arisztoxénosz, egy, Pithagorasz mesternél több mint 150 évvel később élt zenészé. Hangközrendjének alapja 2, természetes hangközértékek szerint összefűzött tetrachord (4 hangból álló) hangcsoport, az alább kialakított hangközviszonyok szerint (a hangneveket modern, klasszikus hangelnevezéssel szemléltetjük):

 

 

A 2 hangcsoport közti "ragasztó" tehát a tiszta kvint.

 

És pontosan ennél a pontnál kezd sajnos káoszba fulladni a zenetörténet hitelessége...

 

Az általam referenciaként kezelt 2 zeneelméleti alapmű (Riemann-Brockhaus zenei lexikon, illetve Tarnóczy Tamás - Zenei akusztika) olyannyira különbözőféleképpen tárgyalja a harmonikus (skála)felosztás elvét, hogy a témában járatlan olvasó számára 2 különböző elvet sugall, holott egyről van szó. Az érthetetlenséget súlyosbítja azon tény, hogy Tarnóczy tanár úr meg sem említi a harmonikus (skála)felosztás és az aranymetszés elveit (még hivatkozás formájában sem), bár munkájában a számítások egyértelműen ezekből az elvekből indulnak ki.

 

Másfelől a Riemann-Brockhaus zenei lexikon a harmonikus felosztás résznél nem említi meg Arisztoxénoszt, csak a harmonikusok szócikknél. Ott viszont a következő módon katalogizálja alapszinten az ógörög zenei szemléletet:

1. Arisztoxénosz és követői, akik a zene empirikus, tapasztalati, tehát elsődlegesen hallás alapján történő meghatározását hangsúlyozták,

2. Pithagorasz és követői, akik a zene mögött rejlő matematikai összefüggések megértését erőltették.

Néhány további, nem oly fajsúlyos tanulmány egyenesen a pithagoreusoktól vezeti le ezt a skálarendezési elvet és hivatkozik egy Arkhütasz nevű ógörögre is, aki először alkalmazta gyakorlatban a harmonikus felosztást az oktáv kvint és kvart hangközre való felosztásával...

 

 

...ugyanis harmonikus felosztásról beszélünk, ha a mennyiségek között fennáll az Arkhütasz (?) által felfedezett összefüggés:

 

b = (a + c) / 2

 

Például...

• a = 1

• b = 2

• c = 3

 

...így:

 

2 = (1 + 3) / 2

 

 

Ráadásként észre kell vennünk, hogy a képlet voltaképpen az ókorban felismert és szinte minden időben és sok helyen (például az építészetben is) alkalmazott aranymetszés szabálya. Aranymetszésről beszélünk, ha az egész (egy kicsi és egy nagyobb rész összege) úgy aránylik a nagyobb részhez, mint a nagyobb a kisebbhez. Ennek legplasztikusabb számsora Fibonacci-sorozat (1-2-3-5-8-13-21-34-55-89…), mert:

• 1+2=3

• 2+3=5

• 3+5=8

• 5+8=13...

...ahol a sorban előre haladva 2 szomszédos szám hányadosa egyre jobban megközelíti az aranymetszés értékét:

• 2 / 3 = 0,6

• 3 / 5 = 0,6

• 5 / 8 = 0,625

• 8 / 13 = 0,615...

• stb.

Arisztoxénosz ősrégi tetrachord-rendszerével később Didümosz és Ptolemaiosz is foglalkozott, az 5. század végén pedig Boethius emelte át a középkorba. Késő középkori továbbfejlesztése Zarlino, a velencei Szent Márk templom karnagyának nevéhez fűződik 1560 körül.

 

Az arisztoxénoszi-zarlinoi rendszer kiindulópontja a nagyterc (5/4) és a kvint (3/2), valamint járulékosan a kvart (4/3) hangzásbéli tisztasága (nem véletlenül, hiszen maga Arisztoxénosz is zenész volt); az előbbi 2 arány aztán következetesen skálaépítési tényezővé lép elő. 

 

A fenti meghatározások, tehát a harmonikus felosztás elve szerint az oktáv (1:2 = 2:4) felosztható kvintre (3/2) és kvartra (4/3)...

 

 

...amelynek aritmetikai rövidítése:

 

2 : 3 : 4

 

A kvint (2:3 = 4:6) felosztható nagytercre (5/4) és kistercre (6/5)...

 

 

...amelynek rövidítése:

 

4 : 5 : 6

 

A nagyterc (4:5 = 8:10) felosztható nagy egészhangra (9/8) és kis egészhangra (10/9)...

 

 

...amelynek aritmetikai rövidítése:

 

8 : 9 : 10

 

Ha a tiszta nagytercet (5/4) és a kvintet (3/2) érintő arányosságot...

 

4 : 5 : 6

 

...a frekvenciára vonatkoztatjuk, akkor a tiszta dúr hármashangzatot fogjuk megkapni. A zarlinoi skálarendszer ezzel az arányhármassal már felépíthető (a mai, modern hangelnevezések /C-D-E-F-G-A-H/ itt és most nem lényegesek, mert az ábra csak belső hangközviszonyokat mutat):

 

 

Nem véletlenül történt a nagyterc alapértelmezetté tétele, hiszen a társadalmi és zenei változások egyre inkább a polifonikus hangszerek és zeneszerkesztés felé irányították a figyelmet, amelynek központi eleme éppen ez a hangköz, hiszen az akkordok legfontosabb építőköve.

 

Sokunk számára talán kissé érthetetlen ezzel az arányhármassal történt matematikai manőver. Az alábbi ábra plasztikusan, hasábok formájában megmutatja a hangok frekvenciáiban jelentkező arányosságot:

 

 

A 4:5:6 tehát a belső hangközarányosság rövidített, matematikai formulája.

 

A rendszerből származtatott hangsor egy apró változtatás után (Zarlino a G-A és A-H közti hangközöket a jobb hangzás érdekében felcserélte) a következő lett:

 

 

A rendszer fő előnye a hangsorból kihozható 3 db kristálytiszta dúr-hármashangzat, viszont jelentős problémákkal szembesülünk:

1. kétféle egészhang jelenik meg benne (9/8 és 10/9), amelynek különbsége 1 didümoszi komma (81/80),

2. ebből következően háromféle félhangot tartalmaz,

3. a D és F közötti kisterc túl szűk (a különbség a tiszta kisterchez képest 1 didümoszi komma),

4. a D és A közötti kvint túl szűk (a különbség a tiszta kvinthez képest 1 didümoszi komma),

5. illetve további kisebb anomáliák is megtalálhatók a rendszerben (farkaskvint, súlyos kis szeptima).

Mindez a skálarendszeren belüli modulációs lehetőségek jelentős mértékű szűkülését eredményezte, ami igencsak kétségessé tette az addig jól bevált pithagoraszi hangrendszer helyettesítését, illetve hosszabb távú lecserélését.

 

Az alábbi táblázat a pithagoraszi és a zarlinoi hangrendszer értékeinek összehasonlítását tartalmazza, amelyben a zarlinoi rendszerben létrejövő komma, eltérés (jelölése -1) értéke 1 didümoszi komma (81/80 = 21,51 cent):

 

 

A problémákat már Zarlino is észrevette és olyan orgonahangolást javasolt, amelyben a hibák a rendszeren belül egyenletesen vannak elosztva (1562). Később a módszert AAron (1523), Vicentino (1555), Salinas (1577) és Costeley (1558 k.) fejlesztette tovább középhangú temperálás néven.