A zongora
Ujjrend átkötések II.
Az előző fejezet felvázolta a zongorán előforduló ujjrendi átkötések problémáját. Megállapítottuk, hogy 1 kézen és 5 ujjra összesen 10 db ujjrendi átkötésünk lehetséges, ám ezt a végeredményt az ujjrendi kombinációk gyakorlati felvázolásából kaptuk meg. Hamvas Gábor internetes olvasó szolgált a probléma matematikai képletével, ezúton szeretném megköszönni neki értékes hozzászólását!
Részlet leveléből:
"A zongoraiskolás honlapon, az ujjrendi átkötéseknél található egy
megjegyzés, erre volna egy megoldási javaslatom.
Hányféle ujjrendi váltás lehetséges? A kérdésre szerintem ugyanaz a képlet
adja meg a választ, mint arra, hogy egy sokszögnek hány oldala és átlója
van összesen. Mivel egy sokszög összes átlóját és oldalait együttesen az
összes csúcsából minden másik pontba húzott vonal alkotja, ezért a képlet
n oldalú sokszög esetén:
(n × (n-1)) / 2
Hiszen minden csúcsából (n) minden másik pontba, kivéve saját magába (n-1) húzok vonalat (pont úgy, mint ahogy minden ujjamat átköthetem egy másikkal, kivéve saját magával), majd az eredményt osztom kettővel, hogy ne legyen duplán számolva, mivel ha egyik pontból a másikba már húztam vonalat, akkor visszafelé nem kell számolni: pont mint a reverzibilis ujjrendi átkötéseknél."
Gábor tehát a matematikai érveléskor a 2 dimenziós geometriából indult ki, bár szerintem ismeri a gráfelméleteket is, ezért nagy valószínűséggel mérnök. (Később kiderült, hogy magyar-latin szakos tanár. Ennyit megérzéseimről...) Érvelését konkrétan alkalmazva: ha veszünk az 5 ujj analógiájára egy ötszöget...
...amelynek 5 db csúcsa reprezentálja az 1-2-3-4-5. ujjakat, akkor a csúcsokból húzott átlók...
...vizuálisan megmutatják az összes ujjrendi átkötést. Mivel a 10 db lehetséges ujjrendi átkötést az előző fejezetben meghatároztuk, semmi más dolgunk nincs, mint ezt a végeredményt a Gábor által megadott képletbe helyettesíteni:
(n × (n-1)) / 2
(n × (n-1)) / 2 = 10
(5 × (5-1)) / 2 = 10
A képlet kiválóan működött, az eredmények kijöttek. Mivel a képlet általános, ezért minden, a zongorához hasonló ujjrendtechnikai helyzetben alkalmazható, például 4 ujjas UFO-knál, 2 ujjas asztalosmestereknél, stb. ☺
Pénzes László