Neszményi Zoltán György - Szakrális zene, avagy a zenei kvintesszencia
Előző fejezet - Egyedi temperálások
Aranymetszések, Fibonacci arányok a zenében
Az elsőrendű aranymetszések olyan A/B irracionális arányszámok, melyek
egyenlőek (A+B)/A, illetve B/(A+B) értékekkel. Az elsőrendű
aranymetszéseket négy különböző irracionális számmal lehet kifejezni,
(1+√5)/2, illetve (1-√5)/2 számokkal (A+B)/A feltétel esetén, illetve ezen
számok reciprokaival ((-1+√5)/2 és (-1-√5)/2) B/(A+B) feltétel esetén. Az
aranymetszés lényege az, hogy aszimmetrikus harmóniát hoz létre. A
Fibonacci-sorozat olyan rekurzív számsorozat, melynek 0. tagja 0, az első
tagja pedig bármilyen nem 0 és nem ∞ szám a valós számok halmazán. A
sorozat következő tagját mindig az előző kettő tag összegéből fogjuk
megkapni. A Fibonacci-sorozat lényege, hogy minél inkább a sorozat 0.
tagjától távolabb lévő egymás melletti két tag hányadosát vesszük, annál
jobban fog korrigálni az elsőrendű aranymetszések valamely értékéhez, de
soha nem fogják ténylegesen érinteni egyiket sem, mivel irracionális
számok nem írhatók fel két szám hányadosaként. Az adott rendű Fibonacci
arány attól fog függeni, hogy pozitív vagy negatív tartományban vagyunk-e
a 0. tagtól (a páratlan rendű arányok esetében), a 0. tagtól való
távolságtól, valamint az osztási iránytól. A Fibonacci arányokból az
aranymetszésekhez hasonlóan végtelen rendű arányt meghatározhatunk.
Elsőrendű arányoknál a szomszédos tagok hányadosaiból számolunk,
másodrendű arányokból a második szomszédos tagokból, harmadrendű
arányoknál pedig a harmadik szomszédos tagokból, stb. A Fibonacci-sorozat
számmisztikai logikája tetravigezimális, tehát minden 24. tagja után újra
kezdődik a ciklus. A következő táblázat az első 3 rendű Fibonacci
arányokat mutatja:
Minden páratlan rendű arányból 4 (2 pozitív és 2 negatív), és minden páros rendű arányból 2 pozitív lesz (függetlenül attól, hogy a Fibonacci-sorozat első tagja pozitív vagy negatív szám), mivel két negatív szám hányadosa mindig pozitív. Amennyiben szeretnénk a páros rendű arányok számát mesterségesen megduplázni, úgy ezen arányok értékét szorozni kell -1-gyel. Néhány különböző rendű Fibonacci arány értéke azonos lesz, mivel bizonyos számok a Fibonacci-sorozaton belül mindig azonosak (például a -1., 1. és 2. tag értékei vagy a -3. és 3. tag értékei). A táblázatban feltűnhet az, hogy 0-val osztottunk. A matematikában azonban nem teljesen helyes tétel, hogy 0-val való osztásnak nincs értelme, sőt, 0-val való osztás a világegyetem egyik legmagasabb rendű művelete, csupán feltételhez vagy logikához kell kötni. Amennyiben olyan valós számokból álló számrendszert használunk, mely önmagába csavarodik (+∞=-∞), akkor a 0-hoz hasonlóan a végtelennek nem lesz előjele. Ebben az esetben bármely nem 0 valós számot osztva 0-val előjel nélküli végtelent kapunk. Ha pedig olyan valós számokból álló számrendszert használunk, ahol +∞ ≠ -∞-nel, akkor a 0-val való osztás egy olyan kvantumművelet, melynek kimenetele a bemeneti logikájának a függvénye. A táblázatban annak megfelelően lesz 0-val való osztás eredményének előjele, hogy az adott rangtól függően pozitív vagy negatív aranymetszés arányszámainak irányába korrigálnak-e a Fibonacci arányok.
Leonardo Bonacci di Pisa, ismertebb becenevén Fibonacci (jelentése Bonacci
fia) egy olasz matematikus és kereskedő volt, a XII. és XIII. században
élt. Egyik fontos műve, a Liber Abaci (Abakusz vagy számítások könyve)
1202-ben jelent meg, melyben ismertette az előbb tárgyalt sorozatot és
egyéb matematikai tételeket. Ezt a sorozatot azonban bizonyosan már több
ezer éve is ismerték, hiszen rengeteg őskori/ókori építményen és szobron
is világszerte megfigyelhetőek a sorozatból származtatható különböző
Fibonacci arányok. A Fibonacci arányok a természetben is megfigyelhetőek,
az emberi test felépítését is jellemzik. Például hozzávetőlegesen a
testmagasság és kar fesztáv hosszának aránya 1/1, a testmagasság és a
talptól mért köldök magasságának aránya 5/3. Fibonacci jelentősége az
volt, hogy művei által az európai kultúra sokkal szélesebb körben
megismerte a manapság egész nyugati kultúrában elterjedt indiai eredetű
hindu-arab számírást és a ráépített matematikai rendszert. Ennek hatására
az addig népszerű, de a matematikai összefüggések vizsgálatára nehezebben
használható római számírás használatát gyorsan felváltotta a 10-es
számrendszert használó hindu-arab számírás Európa-szerte.
A zenében és egyéb művészeti ágakban sem hozható létre direkt módon az
aranymetszés valamely rendű aránya irracionális tulajdonsága miatt, de a
Fibonacci arányokkal meg tudjuk közelíteni azokat. Hangköz tekintetében a
6561/4096 arányú kis szext közelíti meg legjobban az elsőrendű
aranymetszést. A zene egy egyidődimenziós művészeti ág, így egy A-B
vektorként célszerű ábrázolni, ahol az A pont a zene kiindulópontja, a B
pont pedig a zene vége. Mivel a negatív és egynél nagyobb Fibonacci
aránypontok a zenén kívül esnek, ezért a zenén belül ezeket nem tudjuk
érdemben befolyásolni, ugyanakkor rávilágít arra, hogy egy adott műalkotás
környezetén (beleértve a zenét is) hol találhatjuk meg az
aranymetszésekhez közeli Fibonacci aránypontokat. Minden N. rangú
Fibonacci arány csupán egyszer képviselteti magát a zenében. Célszerű a
zenét annyi időegységre (tágabb értelemben ütemre) felosztani, hogy létre
tudjuk hozni benne Fibonacci arányokat. A következő ábra egy 233
időegységre bontott zenét mutatja a hozzá tartozó elsőrendű, másodrendű és
harmadrendű Fibonacci aránypontokkal.
A-val van jelölve a zene kiinduló pontja, B-vel van jelölve a zene vége, 2-vel, 3-mal, 7-tel és 8-cal vannak jelölve az elsőrendű, 6-tal és 9-cel a másodrendű, 1-gyel, 4-gyel, 5-tel és 10-zel pedig a harmadrendű Fibonacci aránypontok. A zenén belül ezeknél a pontoknál (5., 6. és 7.) célszerű a téma/figura váltásokat elhelyezni. Egy adott részt a zenén belül természetesen tovább bonthatunk különböző Fibonacci arányokkal. A zenén kívül eső Fibonacci aránypontoknak pl. koncerten vagy album felvételén lehet jelentősége, ahol az előző/következő zeneszámokkal érdemben befolyásolhatók.
A Fibonacci arányok a zenében nemcsak időben, hanem egyéb módokon is megjelenhetnek, például dinamikában vagy hangközökben (pl. 1/1, 3/2, 8/5, 5/3, 2/1, 5/2, 8/3, 3/1, 8/2, 144/34, 34/8, 5/1, 8/1, 34/5, 34/3, 34/2, 144/8, 144/5, 34/1, 144/3, 144/2, 144/1, stb.) is.
Következő fejezet - Cent skálák
Pénzes László