Összhangzattan XIX.
Matematikai összhangzattan - Maczkó Dávid gondolatai
Maczkó Dávidot már megismerhettünk a Skálakatalógus Ia. című fejezetből:
Ebben a fejezetben a skála-, és hangzatépítkezés új matematikai lehetőségeit tárja ki felénk. Bevallom őszintén, a magam részéről néhol még nem egészen értem teljesen újszerű gondolatait, de a tapasztaltak tudják, hogy az emberi történelemben a forradalmi gondolatok először mindig értetlenségbe ütköztek.
Jelen cikk a zene újfajta matematikai leírását kísérli meg. A hangok akusztikai tulajdonságainak vizsgálatával fény derülhet az akkordok, skálák összefüggéseire is.
Hangkeresés
Emberi fül logaritmikus hallással rendelkezik. Vagyis ha kétszeres frekvenciakülönbségű hangokat hallunk egymás után, a hangközöket azonosnak érezzük. Ezért nem alkalmas egy olyan összhangzattani rendszer használata, ahol a szomszédos hangok frekvenciájának különbsége egyenlő. Olyan rendszert kell kidolgozni, ahol a szomszédos hangok frekvenciájának hányadosa egyenlő. Első lépésként nézzünk át néhány, a hangokhoz kapcsolódó fizikai fogalmat!
A hang a levegő periodikus nyomásváltozása következtében érzékelhető:
A levegő a nyomásváltozás következtében sűrűsödik és ritkul
Célszerű azonban az amplitúdó és az idő függvényében ábrázolnunk a hangokat, illetve jelölhetjük amplitúdó-, és frekvencia-grafikonon is:
Az alaphangot, tehát azt az eredeti hangot, amihez viszonyítunk, vessük össze egy olyannal, amelynek frekvenciáját kétszeresére emeltük:
Ha az alaphang frekvenciáját egész számmal szorozzuk, akkor minden esetben találkozunk a következő jelenséggel:
az alaphang amplitúdója legalább 2 esetben egyezik a módosított hangéval.
Ha a 2 hatványaival szorozzuk az alaphang frekvenciáját, akkor az alaphang amplitúdója három esetben egyezik a módosított hang amplitúdójával. A két szélső esetben a fázisuk megegyezik, a harmadik esetben pedig ellentétes a fázisuk. Most nézzük meg ezt a megközelítést prímszámmal is! (Azért érdemes ezeket a számokat használni, mert ezek csak önmagukkal és eggyel oszthatóak.) Ha más prímszámmal szorozzuk az alaphang frekvenciáját, szintén három esetben lesz egyenlő a két hang amplitúdója és csak az utolsó esetben nem egyezik a fázisuk:
Ezekből az ismeretekből levonható következtetések:
-
az alaphangot tartalmazza az a hang (felharmonikus), amelynek a frekvenciája egy egész szám és az alaphang frekvenciájának szorzatával egyenlő. Vagyis egy hang felharmonikusainak frekvenciáját úgy kapjuk meg, hogy az alaphang frekvenciáját egy egész számmal szorozzuk (célszerű ezt prímszámmal megtennünk).
-
Ha eggyel szorzunk, az érték nem változik.
-
Ha kettővel szorzunk, megkapjuk az alaphang 1. felharmonikusát. Ez a felharmonikus hasonlít a legjobban az alaphangra. Ezért ezt a két hangot ugyanannak a hangnak tekintjük a zenében (természetesen a két hang hangmagassága eltérő, de ha ezt a két hangot egyszerre szólaltatjuk meg, egy hangot fogunk hallani). Ezt a hangközt nevezzük oktávnak.
-
A 2 hatványaival kapott felharmonikusok kellemesebbek az emberi fülnek, mint a páratlan számok hatványaival kapottak.
-
Egy erősítő torzításakor a felharmonikusok amplitúdója (hangereje) megnövekszik a kimeneti jelben. Egy csöves erősítő jellemzően a 2 hatványaival kapott felharmonikusokat adja hozzá az eredeti jelhez, egy félvezetős pedig a páratlan számok hatványaival kapott felharmonikusokat is. Ezért kellemesebb hallgatni egy csöves erősítőt, mint egy tranzisztorosat. Sőt, a csöveseket szándékosan túlvezérlik a kívánt sound elérése érdekében.
Mivel az oktávok nagy hangközök, ezért ez a hangmennyiség nem elégíti ki a zene igényeit. Az a feladat, hogy töltsük fel az oktáv közti helyet zenei hangokkal úgy, hogy azok harmonizáljanak is egymással. E feladat megoldására több lehetőség is adott. A kínaiak úgy alkották meg a hangkészletüket, hogy az alaphang frekvenciáját megháromszorozták:
Ebből a táblázatból világosan látszik, hogy a számításokat elvégezve a 12. utáni következő hang és az alaphang frekvenciája közt kevés különbség van. Vagyis a 13. hangot tekinthetjük az alaphanggal egyező hangnak. Itt már újraindul a kör. Ebben az esetben tehát 12 hangot találtunk:
De mi történik akkor, ha nem hárommal, hanem egy másik prímszámmal szorozzuk meg az alaphang frekvenciáját? Hiszen azokban az esetekben is az alaphanghoz viszonyított felharmonikusokat kapunk. Például nézzük meg 5 esetében:
Vagy csak 3 hangunk lesz, vagy rengeteg. A túl sok hang azért nem jó, mert például a gitáron nem lehetne megkülönböztetni két szomszédos hang helyét, zongorán pedig nem lehetne átfogni egy oktávot. Egy ilyen hangrendszer egyedül bundnélküli hangszeren, például hegedűn lenne könnyen kivitelezhető, gitáron slide-ot kell használni hozzá.
A 12 hang más szempontból is figyelemreméltó. Maga a 12-es szám logikus magyarázat lehetne arra, hogy miért ennyi hangot használunk. A 12-es számrendszerben könnyebb fejben számolni, mert a 12 osztható 1, 2, 3, 4, 6, 12-vel. Ne felejtsük el azt sem, hogy az ókorban nemigen ismerték el a racionális és az irracionális számokat, ezért igyekeztek olyan számrendszereket találni, ahol minden számolás kijön lehetőleg egész számra. A német, angol nyelvben valószínűleg ezért van külön neve a 11-nek és a 12-nek. (A magyarban 12 = tucat.)
Ezek szerint nem véletlen a 12 hang, lehetséges, hogy szándékosan ennyit kerestek és ennek a törekvésnek a következménye a kínai bácsi bambuszharmadolása?
Mindenesetre akármennyire harmonikus ez a skála, de nem pontos, hiszen csak az alaphangra harmonizál. Ahhoz, hogy tökéletesen azonos hangtávolságokat halljunk egy skálában, mértani sorozatként kell kezelnünk és meg kell találnunk azt a számot, amivel ha megszorozzuk az alaphang frekvenciáját, egy adott darab számolás után pontosan megkapjuk az alaphang 1. felharmonikusát. A jelen esetben 12 számolás elvégzése után kell eljutnunk az 1. felharmonikusig. Vagyis azt a számot keressük, amelynek a 12-dik hatványa kettő. Ez a szám:
Ezt a hangolási módszert használva kiesnek az alaphang pontos felharmonikusai. Ezzel a módszerrel megkapjuk a kiegyenlített lebegésű temperált hangskálát; tehát bármennyi hangot el tudunk helyezni egy oktávon belül, csak a kívánt hangmennyiséget kell a 12-es helyére írni.
Az alábbi táblázatban felsorolom a különböző hangolásokhoz tartozó szorzókat. A rezgésszámok mellett vannak a pontos, majd a kerekített értékek. Ezek a tömbök a kínai rendszert, a klasszikus rendszert és a kiegyensúlyozott lebegésű számításokat hasonlítja össze:
Pénzes László