A zongora

Az akkordfelbontások matematikája

 

Adott 1 egyszerű, hangmagasságban alul az alaphanggal kibővített hármashangzat, mondjuk A-moll ('A-A-C-E):

 

Ez egy olyan akkordsablon, amely önmagában vagy sokféle módon variálva kiválóan felhasználható bizonyos, általában könnyűzenei dalok akkordkíséretére. Erre az alapvető felismerésre alapul a Pénzes-féle folkgitár-módszertan (www.folkgitar-gitariskola.hu), amely egyedülálló módon képes a legtöbb könnyűzenei dal kottanélküli lemodellezésére.

 

Most rendeljünk a fenti akkordsablon minden egyes hangjához egy számot:

 

 

Miért tettük ezt? Mert így ki tudjuk számolni, hogy az akkord hangjait hányféleképpen tudjuk variálni. Mivel általában az egyik legfontosabb tényező, hogy hangmagasságban az alaphang (1) legyen legalul, ezért a számolást 1...-ről kezdem. Az a sorozat, hogy 1-2-3-4 tehát azt jelenti, amit a fenti kotta mutat: az A-moll akkord hangjait egymás után egyenletesen, a számok sorrendjében szólaltatjuk meg. Innentől nekem más dolgom nincs, mint felvázolni az összes lehetséges megoldást. Kombinatorikailag nézve a sorozat ismétlés nélküli permutáció, mert a fenti 4 hang közül egyik sem szerepelhet egynél többször, tehát például nem lehetséges az alábbi pengetés: 1-1-2-4.

 

1-2-3-4

1-3-2-4

1-2-4-3

1-3-4-2

1-4-3-2

1-4-2-3

 

2-1-3-4

2-3-1-4

2-1-4-3

2-3-4-1

2-4-1-3

2-4-3-1

 

3-1-2-4

3-2-1-4

3-1-4-2

3-2-4-1

3-4-1-2

3-4-2-1

 

4-1-2-3

4-2-1-3

4-1-3-2

4-2-3-2

4-3-1-2

4-3-2-1

 

Mivel 4 hangunk van, 4! = 24, egyetlen A-moll akkordra tehát 24 darab akkordsablon keletkezett!

 

Ez a mennyiség egy egyszerű, 4 hangos akkord esetén már önmagában döbbenetes, ám az még döbbenetesebb, hogy erre eddig miért nem jött rá senki!

 

Ez döbbenetes!

 

Ebből a tömegből szerintem igazán csak azon sablonok fontosak, amelyeknél az alaphang van legalul, azaz az összes 1 számmal kezdődőek:

 

1-2-3-4

1-3-2-4

1-2-4-3

1-3-4-2

1-4-3-2

1-4-2-3

 

Így is van 6 darab, a zenébe tökéletesen beilleszthető sablonunk, de természetesen a többit is nyugodtan letesztelhetjük. A sorozat legutolsó sablonját például (4-3-2-1) is viszonylag sokszor hallom folkgitár-pengetésekben.

 

Tudnánk-e továbbvariálni a fenti 6 sablont?

Hát persze, még pedig a hangok megkettőzésével, duplázásával! Nézzük csak:

 

14-2-3-4

14-3-2-4

14-2-4-3

14-3-4-2

14-4-3-2

14-4-2-3

 

A sorozat elején 14 természetesen nem tizennégyet jelent, hanem azt, hogy az akkord legalsó és legfelső hangját (ebben az esetben A-E) egyszerre pengetjük meg. Ilyen módon például egyetlen csoportra...

 

1-2-3-4

1-3-2-4

1-2-4-3

1-3-4-2

1-4-3-2

1-4-2-3

 

...24 sablon keletkezik, mind a 6 csoportra (amely tehát 1 hang végigvariálást jelenti)...

 

1-2-3-4

1-3-2-4

1-2-4-3

1-3-4-2

1-4-3-2

1-4-2-3

 

2-1-3-4

2-3-1-4

2-1-4-3

2-3-4-1

2-4-1-3

2-4-3-1

 

3-1-2-4

3-2-1-4

3-1-4-2

3-2-4-1

3-4-1-2

3-4-2-1

 

4-1-2-3

4-2-1-3

4-1-3-2

4-2-3-2

4-3-1-2

4-3-2-1

 

...96 és minden a 4 hangra összesen 384. Láthatjuk, hogy a kiszámított összmennyiség már nagyságrendekkel növekszik, mert elméletileg mindegyik hangot hozzá tudjuk tenni mindegyikhez. Ám a gyakorlatban ez a mennyiség kevesebb, mivel nem tudjuk a hangokat önmagukhoz hozzárendelni, ilyen például: 1-2-3-44, ez ugyanis azt jelentené, hogy azt a hangot egyidőben kétszer kell megszólaltatnunk (ami a zongorán nem lehetséges).

Ebből következően a fenti 96-ból ki kell vonnunk az önmagukkal duplázott hangpárokat (11, 22, 33, 44), ez csoportonként 6 darab, a 4 csoportra pedig 24, mind a 4 hangra 24 x 4 = 96. A végső eredményhez 384-ből ki kell vonnunk a 96-ot, azaz 384 - 96 = 288.

 

A hangkettőzés ötletével tehát a meglévő 24 pengetési sablonhoz 288 további sablont tudtunk hozzátenni.

 

Aki szerint mindez merő matematikai fikció, azok számára jelzem, hogy ilyesféle hangduplázás, olykor hangtriplázás nem ritka jelenség a zenében, például itt van előttem Máté Péter Azért vannak a jó barátok című dalának kottája, amely szó szerint így kezdődik (Copyright - 1975 - Editio Musica):

 

Máté Péter Azért vannak a jó barátok című dalának kottája...

 

Ezt a bevezetőt egyébként a régi, 1975-ös felvételen éppen a gitár játssza!

 

 

Könnyű észrevennünk a kotta elején lévő hangtriplázást (G-G'-G"), amelynek tehát 4 hangra vonatkoztatott, teljes variációs lehetőségét éppen most számoltuk ki. (Én fentebb egy kissé más hangduplázásról beszéltem, de az egyszerűség kedvéért ettől most tekintsünk el.)

 

Akik gondolatmenetemet megértették és tudták követni, azok már azt is észrevették, hogy a levezetés, azaz akkordsablonok meghatározása és variálása nyílegyenesen folytatható tovább más ütemmutatókban. Így a későbbikeben kidolgozzuk ugyanezen elvet 3/4-es és 4/4-es felbontásokban is.